Lineární algebra: přednášky

Soustavy lineárních rovnic Grupy Vektorové prostory Maticové prostory Lineární zobrazení

kam.mff.cuni.cz/~hladik/LA
sehnat skripta

Soustavy lineárních rovnic

matice
- reálná matice typu m × n je obdélníkové schéma (tabulka) reálných čísel (v kulatých závorkách)
- prvek na pozici $(i,j)$ matice A (i-tý řádek, j-tý sloupec) značíme $a_{ij}$ nebo $A_{ij}$
- ...
vektor
- sloupcový vektor – matice typu n × 1
- řádkový vektor – matice typu 1 × n
- standardně uvažujeme vektory sloupcové
- množina n-rozměrných vektorů se značí $\mathbb{R}^n$
- obecné matice značíme velkými písmeny, vektory malými písmeny
$*$ notace
- i-tý řádek matice A se značí $A_{i*}$
- j-tý sloupec matice A se značí $A_{*j}$
soustava lineárních rovnic
- mějme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých $\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}=b_1\\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}=b_1 \end{aligned}$ ...
- matice soustavy je matice levé strany
- rozšířená matice soustavy obsahuje i pravou stranu (b)
geometrický význam soustavy rovnic
- nejprve případ m = n = 2, tedy dvě rovnice o dvou neznámých
  - za obecných předpokladů ( $a_{11} \not= 0$ nebo $a_{21} \not= 0$ ) popisuje první rovnice přímku v rovině R^2 a analogicky druhá rovnice
  - řešení soustavy leží v průsečíku dvou přímek
- tři rovnice o třech neznámých – průnik rovin může být i prázdná množina
- obecně rovnice určují tzv. nadroviny
elementární řádkové úpravy
1. vynásobení i-tého řádku reálným číslem $\alpha \not= 0$ (tj. vynásobí se všechny prvky řádku)
2. přičtení $\alpha$ -násobku j-tého řádku k i-tému, přičemž $i \not= j$ a $\alpha \in \mathbb{R}$
3. výměna i-tého a j-tého řádku
tvrzení: elementární řádkové operace zachovávají množinu řešení soustavy
- idea důkazu – základní myšlenkou je ukázat, že elementární úpravou se množina řešení nemění
výměna řádků pomocí ostatních úprav
- od j-tého řádku odečtu i-tý
- j-tý řádek přičtu k i-tému (na i-tém je nyní j-tý)
- od j-tého odečtu j-tý (na j-tém je nyní $-$ i-tý)
- j-tý řádek vynásobím $-1$
odstupňovaný tvar matice (REF)
- řádky 1, ..., r jsou nenulové
- řádky r + 1, ..., m jsou nulové
- pod každým pivotem (tečka na obrázku) jsou samé nuly
- ...
- bázický a nebázický sloupec
hodnost matice
- počet nenulových řádků po převodu do odstupňovaného tvaru, značíme $rank(A)$
algoritmus REF(A)
- buď $A \in \mathbb{R}^{m×n}$
1. $i:=1, j:=1$
2. if $a_{kl} = 0$ pro všechna $k \geq i$ a $l \geq j$ , then konec
3. j := min{l; l>= j, akl not 0 pro nějaké k >= i} (přeskočíme nulové podsloupečky)
4. urči $a_{kj} \neq 0$ , k>= i a vyměň řádky Ai* a Ak* (nyní je na pozici pivota hodnota $a_{ij} \neq 0$ )
5. pro všechna k>i polož Ak* := Ak* - akj/aij Ai* (druhá elementární úprava)
6. polož i := i + 1, j := j + 1 a jdi na krok 2
algoritmus (Gaussova eliminace)
- buď dána soustava rovnic (A | b), kde A náleží R^m×n, b náleží R^m
- převedeme rozšířenou matici soustavy (A | b) na odstupňovaný tvar (A' | b') a označíme r = rank (A | b)
- nyní nastala právě jediná z následujících tří situací
  - soustava nemá řešení
    - pokud poslední soupec je bázický, čili v posledním sloupci je pivot, tudíž rank(A) < rank(A | b)
    - nula se rovná něčemu nenulovému
  - soustava má alespoň jedno řešení
    - soustava má jediné řešení – pokud r = n, pivoty jsou na diagonále, poslední sloupec je nebázický
    - soustava má nekonečně mnoho řešení – pokud r < n, v matici je více nebázických sloupců
      - bázické proměnné jsou ty, které odpovídají bázickým sloupcům
      - nebázické proměnné jsou ty zbývající... parametry...
řešitelnost soustavy a hodnost matice
- hodnost matice (A | b) udává řešitelnost a počet významných rovnic v soustavě
- Frobeniova věta:
  Soustava (A | b) má alespoň jedno řešení právě tehdy, když $rank(A) = rank(A | b)$ .
důkaz komutativity
- A + B = B + A
- (A + B)ij = aij + bij
- (B + A)ij = bij + aij
- aij + bij = bij + aij, neboť aij, bij jsou reálná čísla, mezi nimiž platí při sčítání komutativita
i-tý jednotkový vektor
- na pozici i má jedničku, všude jinde nuly
- jednotková matice se skládá z jednotkových vektorů
matice a lineární zobrazení $f: x \mapsto Ax$
- $A \in R^{m×n}$
- $f: R^n→R^m$
- $f(x)=Ax$
numerická stabilita při řešení soustav – pozor na zaokrouhlení!
Hilbertova matice
řešení nestability – pomocí parciální pivotizace
interpolace polynomem

Grupy

algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi
Abelova grupa – je komutativní
konečná grupa $Z_5$ kde $3+4=2$ protože $7\mod 5=2$
neabelovské grupy
negrupy – sčítání na přirozených číslech (chybí inverze), odčítání (není asociativní)
důkaz jedné z vlastností
- $a \circ c = b \circ c \quad /\circ c^{-1}$
- $a \circ c \circ c^{-1} = b \circ c \circ c^{-1}$
- $a \circ e = b \circ e$
- $a = b$
permutace
symetrická grupa
tělesa – mají dvě operace
0a = 0a + 0 = 0a + 0a – 0a = (0 + 0)a – 0a = 0a – 0a = 0
$Z_n$ je těleso $\iff n$ je prvočíslo
jak sestrojit těleso o velikosti $p^n$ $p^{n}$ ?
- prvky jsou polynomy
- GF

Vektorové prostory

vektorový prostor nad tělesem T je množina V s operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem
- těleso T má neutrální prvky 0 pro sčítání a 1 pro násobení
- (V, +) je Abelova brupa, neutrální prvek značíme o, inverzní k v značíme –v
- platí asociativita, distributivita (pro skaláry i vektory), jednička je neutrální u násobení vektoru skalárem
značení
- vektory = prvky vektorového prostoru V, značíme latinkou (bez šipek)
- skaláry = prvky tělesa T, značíme řeckými písmeny
příklady
- artimetický prostor $\mathbb{R}^n$ nad $\mathbb{R}$
- obecněji $\mathbb{T}^n$ nad $\mathbb{T}$ (axiomy vektorového prostoru pak vyplývají z vlastností tělesa)
- prostor matic
- prostor P reálných polynomů proměnné x
- prostor $\mathcal{P}^n$ polynomů z P stupně nanejvýš n (nemůže být vždycky n, aby tam byl neutrální prvek při sčítání)
vektorový prostor $\mathcal{F}$ $F$
- prvky – reálné funkce $f:\mathbb R → \mathbb R$
- součet vektorů – (f + g)(x)
- vynásobení vektoru skalárem – 3f(x)
tvrzení (základní vlastnosti vektorových prostorů
- 0v = o
- $\alpha$ o = o
- …
podprostor
- buď V vektorový prostor nad T – pak U je podprostorem V, pokud tvoří vektorový prostor nad T se stejně vektorovými operacemi
- značení $\Subset$
- dva triviální podprostory prostoru V jsou V a $\{o\}$
- libovolná přímka v rovině procházející počátkem je podprostorem $\mathbb R^2$ , jiná ne
- $\mathcal P^n \Subset \mathcal P \Subset \mathcal C \Subset \mathcal F$
- podprostory musí být nad stejným tělesem
- vlastnost „býti podprostorem“ je tranzitivní
- průnik podprostorů je podprostor
- sjednocení podprostorů nemusí být podprostor
lineární obal množiny W … span(W)
- průnik všech podprostorů, které obsahují množinu W → nejmenší možný podprostor obsahující množinu W
- pokud W je podprostorem prostoru V, pak W = span(W)
generátory
- span(W) = U → W generuje prostor U, prvky množiny W jsou generátory prostoru U
- prostor U se nazývá konečně generovaný, jestliže je generovaný nějakou konečnou množinou vektorů
- hledáme co nejmenší počet generátorů
- existují množiny, které nejsou konečně generované – např. množina funkcí
lineární kombinace
- je to kombinace konečně mnoha vektorů (pro jednoduchost)
pomocí lineárních kombinací můžeme vygenerovat celý lineární obal konečné množiny vektorů
řešení rovnic, nadroviny
matice
lineární nezávislost – pokud součet nějakých násobků vektorů je nulový vektor pouze tehdy, když jsou všechny koeficienty nulové
- nenulový vektor je lineárně nezávislý
- nulový vektor je lineárně závislý
- prázdná množina je lineárně nezávislá
- příklad
  - sloupce regulární matice ( $Ax=0 \implies x=0$ )
vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když se jeden z nich dá vyjádřit jako lineární kombinace ostatních
vektory jsou lineárně závislé $\iff$ můžu z nich jeden vyloučit a pořád mi to bude generovat stejný vektorový podprostor
báze = lineárně nezávislý systém generátorů
- báze prostoru V je tedy minimální systém generátorů prostoru V
- systém vektorů = uspořádaná množina vektorů
- v $\mathbb{R}^n$ kanonická báze $e_1, e_2, \dots, e_n$
každý vektor prostoru se dá vyjádřit jako jednoznačná lineární kombinace bazických vektorů
souřadnice vektoru vzhledem k bázi
dimenze
lineárně nezávislých vektorů musí být méně (nebo stejně), než jaká je dimenze prostoru
- pokud je jich stejně, tak tvoří bázi
dimenze podprostoru je menší nebo rovna dimenzi prostoru (pokud se dimenze rovnají, tak se podprostor rovná prostoru)
všechny možné podprostory podle dimenzí, Haasův diagram
spojení podprostorů
- pro dimenze platí princip inkluze a exkluze
  dim(U + V) + dim(U $\cap$ V) = dim U + dim V
direktní součet podprostorů (spojení, pokud jejich průnik je počátek) – nemusíme umět

Maticové prostory

v matici definujeme sloupcový prostor (generovaný sloupci matice), řádkový prostor (generovaný řádky matice) a jádro (množina řešení Ax = o)
násobení regulární maticí zleva
věta o maticových prostorech a RREF
Frobeniova věta
věta o dimenzi jádra a hodnosti matice $\dim Ker(A) + rank(A) = n$
funkční zobrazení Tn do Tm

Lineární zobrazení

Buďte U, V vektorové prostory nad tělesem $\mathbb{T}$ $T$ . Zobrazení $f: U → V$ $f : U \to V$ je lineární, pokud pro každé $x,y \in U$ $x, y \in U$ a $\alpha \in \mathbb{T}$ $α \in T$ platí:
- $f(x+y)=f(x)+f(y)$
- $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ … kvůli tomu musí být nad tělesem $\mathbb T$
lineární zobrazení se též nazývá homomorfismus
tvrzení o vlastnostech lineárních zobrazení
$f(o)=o$ , protože $f(o_U)=f(0\cdot o_U) = 0 \cdot f(o_U) = o_V$
posunutí není lineární zobrazení
lineární zobrazení zobrazují přímku na přímku nebo na bod
definice obrazu a jádra
vlastnosti lineárních zobrazení – prosté a na
obraz lineární kombinace se dá zapsat jako lineární kombinace obrazů
reprezentace lineárního zobrazení
- vzorečkem
- obrazy báze – stačí mi obraz báze a podle toho zvládnu dopočítat zbytek
matice lineárního zobrazení
- i-tý jednotkový vektor se zobrazí na i-tý sloupec „zobrazovací“ matice
- abstrakce pomocí souřadnic
- matice zobrazení $_{B_V}[f]_{B_U}$
- matice přechodu