Lineární algebra: cvičení

• http://elif.cz/LA_2223_2.html

• zápočet

  • písemky + aktivita
    • na začátku každého cvičení písemka na 5–10 minut, za každou lze získat 10 bodů (celkem 110)
    • za aktivitu v hodině lze získat dohromady 10 bodů
    • celkem alespoň 60 ze 120 bodů
  • domácí úkoly
    • alespoň 60 ze 120 bodů
    • na webu
    • ideálně jako jeden soubor
    • když pošleme dřív, tak nám může dát možnost si to opravit
    • deadline je začátek následujícího cvičení
  • když budeme mít víc než 80 bodů, tak bude na konci semestru možnost to nějak vyřešit

• popis přímky v rovině

  • obecná rovnice
    • ax + by + c = 0
    • $(a,b) \neq (0,0)$
    • (a, b) je normálový vektor
  • parametrický popis
    • $(a,b)+t\cdot (u,v)=(x,y), t \in \mathbb{R}$
    • $(u,v) \neq (0,0)$

• popis roviny v prostoru ($\mathbb{R^3}$)

  • $ax+by+cz+d=0$
    • $(a,b,c)\neq (0,0,0)$
  • $(x,y,z)=(a,b,c)+s\cdot (u_1,u_2,u_3)+t\cdot (v_1, v_2,v_3), s, t \in R$
    • $(u_1,u_2,u_3)\neq (0,0,0)$
    • $(v_1,v_2,v_3)\neq (0,0,0)$
    • jeden vektor se nesmí rovnat k-násobku druhého
  • převod z parametrického popisu na obecnou rovnici se provádí nalezením vektoru kolmého (normálového) k oběma známým vektorům
  • převod z obecné rovnice na parametrický popis se provádí nalezením libovolného bodu v rovině a dále nalezením dvou libovolných (různých) vektorů kolmých na normálový vektor

• přímka v prostoru

  • parametricky pomocí jednoho nenulového vektoru
  • rovnicový popis (jako průnik dvou rovin) – neobjeví se teďka na písemce
    • každá rovina obecnou rovnicí
    • normálové vektory rovin nesmějí být nulové, jeden nesmí být k-násobkem druhého

• kolmost vektorů – jejich skalární součin je nulový

• 1.2 najděte rovnicové vyjádření roviny popsané bodem (3,2,1) a směrovými vektory (1,1,1) a (2,-1,0)

  • je potřeba najít normálový vektor

• 1.3 najděte parametrický popis roviny $2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$

  • existuje více řešení

Gaussova eliminační metoda

matice soustavy vs. rozšířená matice soustavy (s pravými stranami rovnic) elementární úpravy odstupňovaný tvar (REF)

• pokud je matice v REF (o m řádcích a n sloupcích)
  • pak existsuje řádek r, kde první až r-tý řádek jsou nenulové, řádky r + 1 až m jsou nulové
  • pro $p_i=min\{j:a_{ij} \pm 0\}$ platí p1 < p2 < ... < pr
  • pozice (1,p1) ... (r,pr) nazýváme pivoty
  • hodnost matice rank(A) je počet nenulových řádků REF(A)
• redukovaný odstupňovaný tvar (RREF)
  • REF a navíc $a_{1p_1} = a_{rp_r} = 1$
  • $\forall i \in \{1 ... r\}: a_{1p_i} = a_{2p_i} = a_{(i-1)p_1} = 0$
• počítání viz sešit
• na příští písemce pouze analytika (bez Gaussovky)
• doma spočítat úkol, dále 2c a připravit se na písemku